Методы и средства математического моделирования

2020/2021

Учебный год

RUS

Обучение ведется на русском языке

6

Кредиты

Кто читает:

Департамент прикладной математики

Статус:

Курс по выбору

Когда читается:

1-й курс, 1 семестр

Преподаватель

Вульфсон Александр Наумович

Программа дисциплины

Аннотация

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям аспиранта и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и аспирантов по ОП «Системы управления и обработки информации в инженерии», изучающих дисциплину «Методы и средства математического моделирования». Курс включает основные сведения, необходимые для реализации полного цикла построения математических моделей, от математической постановки задачи до разработки программного обеспечения.

Цель освоения дисциплины

• 1. Формирование представлений, получение знаний, умений и навыков по методологии и основным средствам математического моделирования различных физических процессов 2. Изучение основных аналитических принципов, лежащих в основе построения математических моделей, а также обработки и анализа результатов модельных экспериментов. 3. Выработка практических навыков решения классических вычислительных задач. 4. Реализация математических моделей с использованием современных вычислительных методов и алгоритмов.

Планируемые результаты обучения

• Иметь представление о математической модели. Иметь понятие об основных целях математического моделирования. Иметь представление об базовых математических конструкциях, используемых при решении операторных уравнений. Уметь реализовать численную модель и проводить моделирование
• Знать методы и типовые алгоритмы решения стационарных задач с дифференциальными операторами. Уметь решать стационарные задачи итерационными и прямыми методами
• Знать методы и типовые алгоритмы решения нестационарных задач с дифференциальными операторами. Уметь решать нестационарные задачи с помощью явных и неявных разностных схем. Иметь понятие о методах расщепления
• Знать возможности реализации типовых алгоритмов и моделей средствами вычислительной техники. Иметь представление об основах планирования экспериментов с математическими моделями
• Иметь представление об общих понятиях теории и практики как математического, так и физического моделирования. Иметь представление о достоинствах и недостатках этих подходов
• Уметь адекватно оценивать результаты математического моделирования. Иметь представление об анализе и обработке результатов численного эксперимента

Содержание учебной дисциплины

• Функциональные пространства и операторы
  Евклидовы пространства. Пространства Соболева. Оператор Штурма-Лиувилля и матричный оператор. Симметричность оператора Штурма-Лиувилля и матричного оператора в евклидовом и энергетическом пространствах. Необходимые и достаточные условия положительной определённости оператора Штурма-Лиувилля и матричного оператора. Преобразование Гаусса линейной алгебраической системы. Краевые условия и положительная определённость.
• Задача на собственные значения
  Задача на собственные значения для оператора Штурма-Лиувилля. Теоремы Стеклова и Гильберта. Задача на собственные значения для симметричного матричного оператора. Спектральные условия положительной определённости линейного вполне непрерывного оператора. Критерий Гершгорина для матричного оператора. Ортогональные разложения по собственным элементам.
• Стационарные уравнения с положительно определенными операторами
  Операторная форма дифференциальных уравнений. Существование, единственность и корректность задач с положительно определёнными операторами. Уравнение Штурма-Лиувилля Разностная схема Тихонова-Самарского. Сохранение положительной определённости и симметричности. Уравнение Пуассона и его решение проекционным методом Фурье и методом Крылова. Дифференциально-разностные и разностные уравнения Пуассона
• Нестационарные уравнения с положительно определенными операторами. Методы расщепления
  Матричный экспоненциал и его свойства. Решение однородной системы дифференциальных уравнений первого порядка. Явные и неявные схемы Эйлера. Схема Рунге-Кутты. Разностные схемы по времени как приближения матричного экспоненциала. Решение уравнения теплопроводности. Схема Кранка-Никольсон. Метод дробных шагов Яненко и Самарского Метод расщепления Марчука. Схема Саульева и схема Писмена-Рекфорда
• Принцип стационирования и решение стационарных операторных уравнений
  Операторный ряд Неймана и достаточные условия его сходимости. Матричный ряд Неймана необходимые и достаточные условия его сходимости. Принцип сжимающих отображений и ряд Неймана. Принцип стационирования для задач с положительно определёнными операторами. Устойчивость по Ляпунову. Итерационные методы решения стационарных задач. Схема Ричардсона. Схема Самарского
• Аппроксимация и устойчивость разностных схем
  Понятие об аппроксимация и устойчивости. Достаточное условие устойчивости в операторной форме. Спектральное условие Неймана. Критерий Хёрта и счётная вязкость. Теорема Лакса-Рябенького. Разностные схемы для уравнения переноса. Схемы Куранта-Рисса и бегущего счёта
• Общие понятия физического и математического моделирования. Теория подобия и автомодельные решения
  Понятие математической модели, физическое и математическое моделирование. Механические системы. Дифференциальные уравнения и краевые условия. Размерные и безразмерные параметры Критерии подобия. Реализация теории подобия и размерности в моделировании. Безразмерные формы дифференциальных уравнений модели, включающие параметры моделирования. Упрощение моделей, включающих большие и малые параметры моделирования. Ограничения физического и математического моделирования (сохранение параметров подобия). Автомодельные решения уравнений в частных производных. Метод Грина для решения одномерных уравнений теплопроводности. Примеры

Элементы контроля

• аудиторный опрос
• самостоятельная работа
  Печатная форма самостоятельной работы подается для проверки и используется на защите работы. Электронная форма самостоятельной работы высылается на e-mail, указанный преподавателем. Проверка печатной и электронной форм задания формирует предварительную оценку. При отсутствии электронной формы на e-mail преподавателя в период времени, указанный ниже, самостоятельная работа не засчитывается и оценивается нулём. Электронная форма самостоятельной работы предоставляется не позднее 1-ой зачётной даты, указанной преподавателем . Выполненные в этот срок задания могут быть один раз доработаны с последующей коррекцией предварительной оценки.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (I семестр)
  0.3 * аудиторный опрос + 0.7 * самостоятельная работа

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Голубева Н.В. - Математическое моделирование систем и процессов - Издательство "Лань" - 2016 - 192с. - ISBN: 978-5-8114-1424-6 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/76825
• Ибрагимов Н.Х. - Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. Классические и новые методы. Нелинейные математические модели. Симметрия и принципы инвариантности - Издательство "Физматлит" - 2012 - 332с. - ISBN: 978-5-9221-1377-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/5268
• Марчук Г.И. - Методы вычислительной математики - Издательство "Лань" - 2009 - 608с. - ISBN: 978-5-8114-0892-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/255

Рекомендуемая дополнительная литература

• Андреев В.К. - Математические модели механики сплошных сред - Издательство "Лань" - 2015 - 240с. - ISBN: 978-5-8114-1998-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/67464
• Горлач Б.А., Шахов В.Г. - Математическое моделирование. Построение моделей и численная реализация - Издательство "Лань" - 2018 - 292с. - ISBN: 978-5-8114-2168-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/103190
• Математическое моделирование : идеи, методы, примеры, Самарский, А. А., 2005