Предварительная защита кандидатской диссертации Калмынина Александра Борисовича

Мероприятие завершено

26 мая 2022 года на семинаре факультета математики состоится предварительная защита кандидатской диссертации Калмынина Александра Борисовича "Значения арифметических функций в коротких интервалах и случайные мультипликативные функции" по специальности 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел.

Научный руководитель: Королёв Максим Александрович.

Адрес: Усачева 6, аудитория 306.

Начало в 18:00.

С текстом резюме и диссертации можно ознакомиться на факультете математики.

Abstract: 

Одна из самых известных нерешенных задач о числах, представимых в виде суммы двух квадратов —  улучшение элементарной оценки Эйлера для промежутков между такими числами (см. также работу Р.П. Бамбы и С. Чоулы (1946)). Вариант ослабления данной задачи —  вопрос о величине степенных моментов промежутков. Правильные по порядку оценки были получены К. Хооли (1971) и В. А. Плаксиным (1988) для порядков моментов a<5/3 и a<2 соответственно и опирались на результаты о суммах Клоостермана и аддитивных задачах с суммами квадратов. В диссертации, выдвинутой на предзащиту, представлен другой подход к изучению сумм двух квадратов в коротких интервалах, использующий функции Бесселя и ряды Коэна-Кузнецова. Также найдена связь между задачей Эйлера и распределением "малых" квадратичных вычетов. Кроме того, показано существование бесконечного множества простых чисел, для которых множество квадратичных вычетов не обладает свойствами случайного множества в смысле работы С.В. Конягина и И.Д. Шкредова об аддитивных свойствах случайных подмножеств в абелевых группах (2018). Данный результат использует классические результаты о нулях L-функций и гладких числах. 

В последней части диссертации рассмотрена экстремальная ситуация неслучайности квадратичных вычетов, а именно изучено множество таких простых чисел p, что все частичные суммы символа Лежандра по модулю p неотрицательны. Данное множество было изучено Р. Бейкером и Х. Монтгомери в контексте положительности многочленов Фекете (1990), а также П. Борвейном, С. Чхве и М. Кунсом (2010). Для относительной плотности данного множества получена явная верхняя оценка, доказательство опирается на результаты А. Харпера (2013) о случайных мультипликативных функциях.