Предварительная защита кандидатской диссертации Зиновой Полины Александровны

1 сентября 2022 года на совместном заседании факультета математики и семинара Международной лаборатории кластерной геометрии состоится предварительная защита кандидатской диссертации Зиновой Полины Александровны по теме "Весовая система, связанная с алгеброй Ли sl(2), и алгебра Хопфа графов".

Научный руководитель: С.К. Ландо.

Предарительная защита пройдет в дистанционном режиме.

Начало: в 18:00.

Аннотация: Весовые системы --- это функции на хордовых диаграммах, удовлетворяющие 4-членным соотношениям. Они тесно связаны с инвариантами узлов конечного порядка. Один из богатых источников весовых систем --- предложенная Д.Бар-Натаном и М.Концевичем конструкция весовой системы, которая строится по конечномерной алгебре Ли, наделенной невырожденной инвариантной билинейной формой. Простейший случай нетривиальной такой весовой системы --- весовая система, построенная по алгебре Ли sl(2). Несмотря на сравнительную простоту определения этой весовой системы, вычисление ее значений на конкретных хордовых диаграммах оказывается трудоемким. Заметно облегчают их вычисление носящие рекуррентный характер 6-членные соотношения Чмутова--Варченко. Как простые графы, так и хордовые диаграммы, рассматриваемые с точностью до 4-членных соотношений, порождают векторные пространства, наделенные структурой градуированной коммутативной кокоммутативной алгебры Хопфа. Конструкция графа пересечений осуществляет гомоморфизм из алгебры Хопфа хордовых диаграмм в алгебру Хопфа графов по модулю 4-членного соотношения для графов. Согласно теореме Чмутова--Ландо, значение sl(2)-весовой системы на хордовой диаграмме зависит только от её графа пересечений, поэтому можно говорить о ее значениях на графах пересечений.

 Естественно возникающий вопрос (С.К.Ландо), можно ли продолжить эту весовую систему до инварианта графов, удовлетворяющего 4-членным соотношениям, не имеет пока удовлетворительного ответа.

В градуированных кокоммутативных алгебрах Хопфа имеется естественная проекция на подпространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых. Известно, что некоторые инварианты графов (например, хроматический многочлен) существенно упрощаются при такой проекции (от хроматического многочлена остается только его линейная часть). 

Имеется гипотеза С.К.Ландо о том, что значение sl(2)-весовой системы на проекции хордовой диаграммы представляет собой многочлен степени не выше половины окружения (длины максимального цикла) ее графа пересечений.

В докладе будут обсуждаться значения этой весовой системы на графах, представляющих собой соединение (join) некоторого графа с дискретным (т.е. состоящем из одних вершин без ребер). Первый результат --- значения весовой системы на полных двудольных графах (т.е. представляющих собой соединение двух дискретных графов). Я опишу, как выводится рекуррентное соотношение для этой производящей функции с применением так называемой sl(2) весовой системы на долях (shares). Для такой весовой системы выполняются аналоги 4-членного соотношения и соотношений Чмутова--Варченко, и оказывается, что доли с точностью до этих соотношений образуют алгебру, изоморфную некоторой алгебре многочленов.

Затем я расскажу про значения sl(2)-весовой системы на бесконечной серии графов, не являющихся графами пересечений, полученных соединением 5-цикла и дискретного графа.

Наконец, я планирую обсудить значения sl(2)-весовой системы на проекциях графов указанных видов на подпространство примитивных.

Мною получена формула, выражающая экспоненциальную производящую функцию для проекций соединений графа с дискретными графами через экспоненциальные производящие функции для графов такого вида. С помощью этой формулы показано, в частности, что для полных двудольных графов, для соединений 5-цикла с дискретными графами и для некоторых других графов выполняется приведенная выше гипотеза Ландо о значениях sl(2)-весовой системы на проекциях.

Все необходимые определения будут даны в докладе.