Предварительная защита кандидатской диссертации Красильникова Евгения Сергеевича

          Доклад является предзащитой диссертации на соискание ученой степени кандидата математических наук, подготовленной на факультете математики НИУ ВШЭ. Диссертация посвящена исследованию различных объектов комбинаторной природы, соответствующих им алгебр Хопфа и свойств их инвариантов.
          Возникающие при этом задачи обязаны своим происхождением теории инвариантов узлов Васильева, теории интегрируемых систем математической физики, геометрии пространств модулей комплексных кривых, теории представлений симметрических групп.
          Наши результаты группируются по трем близким направлениям.
          Первая группа результатов состоит в построении продолжения весовой системы sl(2), удовлетворяющего 4-членным соотношениям для графов, на все графы вплоть до 8 вершин. Эта весовая система ассоциирована с известным инвариантом узлов - крашеным многочленом Джонса. Мы доказываем не только существование такого продолжения, но и его единственность. В основе полученных результатов лежат обширные компьютерные вычисления. 
          Второе направление заключается в исследовании свойств интегрируемости усреднений различных теневых инвариантов комбинаторных объектов. Свойство КП-интегрируемости теневых инвариантов графов было недавно обнаружено Чмутовым, Казаряном и Ландо (2020). Мы распространяем это свойство на теневые инварианты оснащенных графов и показываем, что  алгебры Хопфа других комбинаторных объектов близкой природы (взвешенных графов, хордовых диаграмм и т.п.) этим свойством не обладают.
          Наконец, третье направление посвящено разработке подходов к эффективному вычислению простых вещественных чисел Гурвица. Вещественные числа Гурвица активно изучались в последние десятилетия С.М.Натанзоном и его соавторами, однако достигнутая  до сих пор глубина их понимания не сравнима с уровнем наших знаний о - более простых в изучении - комплексных числах Гурвица. Наши результаты основаны на построении алгебр переходов и изучении представлений действующих на них групп перестановок.